Agua carbonatada II – La teoría

Esta vez voy a explicar las matemáticas detrás de una simple carbonatación de agua.  Si se preguntan por qué escribo esto, es más por mí, que por ustedes. Le estoy dejando una explicación a mi yo del futuro de lo que hice.  Soy bastante desordenado cuando estoy creando algo y si no lo anoto pronto, corro el riesgo de mirarlo dentro de un par de semanas y preguntar: ¿Qué c….. hice aquí?.
 
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Para refrescar la idea, todo empezó con la intención de hacer mi propia agua carbonatada.  Lo que recordaba era que se necesitaban 10 gramos de \(CO_{2}\) por litro de agua para carbonatar una bebida.  Un poco de investigación me indicó que estaba algo oxidado con los conocimientos.  Para empezar ya no se habla de peso sobre volumen, sino de volumen sobre volumen, lo cual me parece una tontería porque, por un lado, no es una noción muy práctica y, por otro lado, da igual que hablemos de unas unidades o de otras. Es exactamente igual que decir que un metro son 100 centímetros.
 
Una Coca Cola tiene al parecer 3,7 volúmenes de \(CO_{2}\) por litro de refresco.  Creo que la soda tiene más pero lo que interesa ahora, ¿qué significa 3,7 volúmenes? Bueno, dado que me dicen que hay x volúmenes por litro, entonces quiere decir que hay 3,7 litros de \(CO_{2}\) en cada litro de refresco a 0ºC. Así que necesitamos el primer concepto que es el volumen molar. Un mol de cualquier gas ideal ocupa 22,4 litros a una atmósfera de presión y 0ºC, en el caso del dióxido de carbono ocupa realmente 22,3 litros, pero vamos a asumir que hablamos de un gas ideal dado que nadie ha dicho lo contrario. El peso molecular del dióxido de carbono es de 44,01 gramos por mol, así que 3,7 litros pesan 7,27 gramos. Menos de lo que tenía estimado, aunque es entonces probable que sea la soda la que contiene 10 gramos.
 
En todo caso me quedo con mis 10 gramos que serían equivalentes a 5,09 volúmenes por litro, lo peor que puede pasar es que tenga un agua carbonatada de más y por lo tanto más picante.  La razón por la que prefiero usar el peso en vez del volumen es que éste último varía con la temperatura y la presión, cosa que no ocurre con el primero.
 
La siguiente pregunta que me surge es si la botella aguantará la presión que se forma en su interior. Para saber esto le tengo que echar mano a dos fórmulas, la ley de Henry, que permite calcular la solubilidad de un gas en agua a determinada presión
 
\(p=k_{H}*c\)
 
y la ley de gases ideales:
 
\(P*V=n*R*T\)
 
Dentro de una botella de agua carbonatada tenemos el agua, a la cual podemos predecir cuanto \(CO_{2}\) tiene disuelto y que está relacionado con la presión que se desarrolla dentro de la misma por medio de la ley de Henry.  Y tenemos una parte gaseosa que está definida por medio de la ley de gases ideales.  A determinada presión, se disuelve un parte del gas en el agua.  El problema que tengo es que quiero saber que presión se desarrolla dentro de la botella cuando tengo determinada cantidad de \(CO_{2}\) dentro de ella.
 
Veamos que sucede dentro de la botella.  En un primer momento tenemos una determinada cantidad de \(CO_{2}\) en forma gaseosa y tenemos agua pura.  Debido a la presión que desarrolla el gas, empieza a disolverse en el agua, con lo cual, empieza a reducirse la presión y a aumentar la concentración de \(CO_{2}\) en el agua.  En algún punto la presión se reduce lo suficiente como para que no se disuelva más dióxido en el agua.  En otras palabras, existe un punto donde la presión parcial que se necesita para disolver el dióxido es exactamente igual a la presión que ejerce el gas dentro del espacio libre.  Eso se traduce en la siguiente fórmula:
 
\(k_{H}*c=\frac{n*R*T}{V}\)
 
Aunque la fórmula es precisa, hay que cambiar algunas cosas.  Una de ellas es que c es la concentración molar, de \(CO_{2}\) en éste caso, en el agua.  Otras las coloco de una forma conveniente para hacer mis cálculos, con lo que la fórmula anterior termina en ésto:
 
\(k_{H}*\frac{n_{a}}{V_{a}}=\frac{n_{g}*R*T}{V_{g}}\)
 
donde:
 
\(k_{H}\) es la constante de Henry para el \(CO_{2}\) y vale \(0,0338\frac{mol}{atm*l}\) o su inverso \(29,5857988166\frac{atm*l}{mol}\), atención con ése detalle porque trae problemas si no se tiene en cuenta.
 
\(n_{a}\) es el número de moles de \(CO_{2}\) disueltos en el agua.
 
\(V_{a}\) es el volumen de agua dentro de la botella.
 
\(n_{g}\) es el número de moles de \(CO_{2}\) en forma gaseosa.
 
\({R}\) es la constante universal de los gases ideales y vale \(0.08205746\frac{atm*l}{ºK*mol}\).
 
\({T}\) es la temperatura en grados kelvin y vale \(298.15{ºK}\) correspondiente a \(25{ºC}\).
 
\(V_{g}\) es el volumen de gas dentro de la botella, para despejar cualquier malentendido, es el resultado de restar el volumen total de la botella del volumen de líquido dentro de ella.
 
Así que ya tengo, casi, la fórmula que necesito para saber la presión que se va a desarrollar.  Tengo \(V_{g}\) que asumo en 0,1 l y \(V_{a}\) en 1,5 l.  Tengo la cantidad de gramos de \(CO_{2}\) dentro de la botella, en éste caso, 33 gr. de azúcar deberían producir 15,28 gr. de \(CO_{2}\) si la eficiencia del proceso fuera del 100%, cosa que no es, pero sirve para los cálculos así que el \(n_{t}\) es un poco menos de 0,35 mol.  ¿No había mencionado a \(n_{t}\)? Lo sé, por eso dije que la fórmula estaba casi lista.  Dado que lo único que sabemos es la cantidad de moles de \(CO_{2}\) dentro de la botella y no su relación, tenemos que hacerle un cambio más a la fórmula.  Este es el penúltimo cambio, lo prometo.
 
Actualmente tengo dos incógnitas \(n_{a}\) y \(n_{g}\), pero sabemos que \(n_{t}=n_{a}+n_{g}\).  Sabiendo eso, podemos aplicar un pequeño truco y quedamos con una sola incógnita:
 
\(k_{H}*\frac{n_{a}}{V_{a}}=\frac{(n_{t}-n_{a})*R*T}{V_{g}}\)
 
De modo que vamos a ver que presión se desarrolla dentro de la botella:
 
\(n_{a}=\frac{n_{t}}{\frac{V_{g}*k_{H}}{R*T*V_{a}}+1}=\frac{0.35{mol}}{\frac{0.1{l*29.5857988166\frac{atm*l}{mol}}}{0.08205746\frac{atm*l}{ºK*mol}*298.15{ºK}*1.5{l}}+1}=0.323888340625{mol}\)
 
por lo tanto:
 
\(n_{g}=n_{t}-n_{a}=0.35{mol}-0.323888340625{mol}=0.026111659375{mol}\)
 
para saber la presión usamos la ley de Henry:
 
\(p=k_{H}*c=k_{H}*\frac{n_{a}}{V_{a}}=29.5857988166\frac{atm*l}{mol}*\frac{0.323888340625{mol}}{1.5{l}}=6.38833018986{atm}\)
 
para corroborar las cuentas determino la presión de la porción gaseosa:
 
\(P=\frac{n_{g}*R*T}{V_{g}}=\frac{0.026111659375{mol}*0.08205746\frac{atm*l}{\text{ºK*mol}}*298.15{ºK}}{0,1{l}}=6.38833018987{atm}\)
 
¡Las presiones son iguales!  La discrepancia en el último decimal es achacable al redondeo de la calculadora.
 
Así que podemos esperar que una botella de agua carbonatada alcance una presión de 6.39atm o 647kPa o 94psia a 25ºC.  Una botella de PET aguanta con seguridad 1000000Pa o 1000kPa, así que no hay peligro de que se reviente.
 
Lo que queda es añadír algo a la fórmula.  La constante de Henry está dada para una temperatura de 25ºC, así que hay que añadír un factor de corrección a la constante para que sirva para cualquier temperatura, digamos en un rango de 0ºC a 40ºC.  Esta sí es la última modificación y ya verán porque no la incluí antes.
 
Voy a asumir que la temperatura ha aumentado a 30ºC o 303.15ºK:
 
\( \begin{eqnarray}n_{a} &=& \frac{n_{t}}{\frac{V_{g}*k_{H}*\exp\left[-C\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T^{\theta}}\right)\right]}{R*T*V_{a}}+1}\nonumber\\ \ &=&\frac{0.35{mol}}{\frac{0.1{l}*29.5857988166\frac{atm*l}{mol}*\exp\left[-2400{ºK}\left(\frac{1}{303.15{ºK}}-\frac{1}{298.15{ºK}}\right)\right]}{0.08205746\frac{atm*l}{ºK*mol}*303.15{ºK}*1.5{l}}+1}\\ \ &=&0.320939727454{mol}\end{eqnarray}\)
 
donde
 
\({C}\) es la constante para el \(CO_{2}\) con un valor de \(2400{ºK}\) y
 
\(T^{\theta}\) es una constante de temperatura con valor de \(298.15{ºK}\)
 
La porción añadida modifica el valor de \(k_{H}\) dado que la solubilidad de un gas en un líquido disminuye según aumenta la temperatura.  Podemos otra vez calcular la presión con la ley de Henry modificada para la temperatura:
 
\( \begin{eqnarray}p&=&k_{H}*c*\exp\left[-C\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T^{\theta}}\right)\right]\\ \ &=&k_{H}*\frac{n_{a}}{V_{a}}*\exp\left[-C\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T^{\theta}}\right)\right]\\ \ &=&29.5857988166\frac{atm*l}{mol}*\frac{0.320939727454{mol}}{1.5{l}}*\exp\left[-2400{ºK}\left(\frac{1}{303.15{ºK}}-\frac{1}{298.15{ºK}}\right)\right]\\ \ &=&7.228925173899{atm}\end{eqnarray}\)
 
o con la ley de gases ideales que es más simple
 
\(P=\frac{n_{g}*R*T}{V_{g}}=\frac{0.029060272546{mol}*0.08205746\frac{atm*l}{\text{ºK*mol}}*303.15{ºK}}{0,1{l}}=7.228925173888{atm}\)
 
 
Pues eso es todo.  Se puede ver que la presión ha aumentado con la temperatura y el \(CO_{2}\) disuelto en el agua a disminuido de 14.25gr. a 14.12gr, es decir, de 9.5 gr/l a 9.42 gr/l.  Ninguna sorpresa.
 
La botella explotaría a una temperatura mayor a 43.58ºC, para los que les guste la idea.  Aunque más que una explosión va a ser un simple pinchazo, no se emocionen.
 
Con éstas fórmulas podemos calcular entonces que cantidad de \(CO_{2}\) debemos introducir para conseguir la meta que tengamos en mente a la temperatura que nos plazca.  Estos resultados no son del todo exactos debido a que presuponen un comportamiento ideal, pero aún así, nos permiten hacernos una idea bastante aproximada de lo que sucede.

Hasta otra.

© 2011, Draco. Bajo licencia Creative Commons by-nc-nd. Al copiar usted debe colocar un enlace a la publicación original.

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4 Comentarios para “Agua carbonatada II – La teoría”

  1. Draco vicente hernandez dice:

    Tengo una consulta que quiza puedas ayudarme a disipar. ¿porque se forman las burbujas en la pared del envase que lo contiene?, en algunos casos en mayor ó menor, por ejemplo vidrio, pet ó unicel, es alguna reacción con alguna materia ó se debe al acabado de la superficie,.

    Responder
    • Draco Draco dice:

      Realmente las dos. La superficie del material ayuda a la formación de burbujas, pero también el contenido de materia solida. En agua pura se pierde el gas mucho más lentamente comparado con agua potable, por ejemplo.

      También juega un papel importante la tensión superficial de la burbuja de gas y la de los materiales con los que entra en contacto.

      Responder
    • Draco Draco dice:

      Hombre, eso es básicamente la ley de gases ideales un poco adaptada. Ni me acuerdo en que año se estudiaba eso en bachillerato. Pero no hace falta ningún doctorado. Smile

      Responder

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